Physique-Chimie - Equation de la Chaleur

Physique-Chimie : Equation de la Chaleur

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Introduction

Nous allons voir dans cet article comment établir une "équation de la chaleur", ou "équation de diffusion". Evidemment, on ne se place pas dans le cas général, ce qui serait trop complexe. On va prendre des hypothèses simplificatrices.

Niveau : Bac +2 environ

Prérequis :

Cours sur le premier principe de la Thermodynamique
Cours sur la diffusion thermique, et au moins sur la loi de Fourier
Notions sur les bilans et les opérateurs en physique (divergence, gradient, laplacien)

Hypothèses de travail :

Le flux d'Energie thermique est unidimensionnel (on choisira de dire que l'énergie thermique se diffuse suivant l'axe Ox du repère cartésien usuel).
Le vecteur densité volumique de courant d'énergie thermique (ou vecteur densité de flux thermique) est invariant suivant 2 directions de l'espace (on choisira ici les directions y et z du repère cartésien usuel).

Etablissement de l'équation

Etablir l'équation de la chaleur est assez simple, finalement, puisqu'il s'agit tout simplement d'appliquer le premier principe de la Thermodynamique à un système choisi.

En général, on choisit un cylindre de section $S$ , et de longueur $dx$ , situé entre les abscisses $x$ et $x+dx$ .
Je vous propose de regarder le schéma suivant, et de vous y reporter au fur et à mesure du raisonnement.

http://la-bnbox.info/document/cahier/dessin_equachaleur.png

On considère donc ce cylindre, et on va faire un bilan de ce qui se passe au niveau énergétique pour ce cylindre entre $t$ et $t+dt$ .
Le premier principe de la thermodynamique affirme que pour ce cylindre :
$dU \,=\, \delta W \, + \, \delta Q$
où :

$\delta W$ est le travail élémentaire des forces qui s'exercent sur le cylindre.
$\delta Q$ est le transfert thermique élémentaire échangé par le cylindre avec l'extérieur.
$dU$ est la variation d'énergie interne du cylindre entre $t$ et $t+dt$ .

Reste à évaluer chacun des termes.

Le travail

C'est le plus facile. Puisque le cylindre est au repos macroscopique, et que les forces de pression ne travaillent pas, le travail élémentaire $\delta W$ est nul.

L'énergie interne

On est dans le cas d'une diffusion dans un matériau quelconque. On est donc en présence d'une phase condensée, que l'on suppose idéale. En notant $C$ sa capacité thermique massique, $\rho$ sa masse volumique, et $V$ son volume, on sait qu'on a : $dU \,=\, \rho VCdT$ .
( $dT$ étant une variation de température.)

Ici la température dépend du temps et de l'espace donc on passe en notation de dérivées partielles. (Ici le problème est uniquement mathématique, pour éviter des problèmes d'homogénéité par la suite).
De plus $V \,=\, Sdx$ .
Ce qui nous donne : $dU \,=\, \rho SdxdtC \frac{\partial T}{\partial t}$ .

Le transfert thermique

En toute logique, le transfert thermique correspond à la différence entre l'énergie qui entre dans le cylindre et celle qui en sort.
Or on sait qu'on obtient la puissance thermique par le flux thermique.
On obtient donc le transfert thermique par la différence entre le flux thermique entrant et le flux thermique sortant.
Le flux thermique est nul à travers la surface latérale du cylindre par le produit scalaire qui le définit. ( $\iint \vec j \, . \, d \vec S$ )

Reste le flux à travers les faces circulaires.

Résumons tout ce qu'on vient de dire :

$\delta Q \,=\,( \Phi_{e} \,-\, \Phi_{s} )\,dt$

Reste à calculer les flux entrant et sortant. C'est là qu'il faut suivre sur le schéma.
On a : $\Phi_{e} \,=\, \iint \vec j(x,t) \, . \, d \vec S$
Et puisque le flux est uniforme sur une section du cylindre, et qu'on oriente $d \vec S$ dans le même sens que $\vec j(x,t)$ , l'intégration donne : $\Phi_{e} \,=\, j(x,t)S$

On suit exactement le même raisonnement pour le flux sortant :
$\Phi_{s} \,=\, \iint \vec j(x+dx,t) \, . \, d \vec S$
Ce qui donne $\Phi_{s} \,=\, j(x+dx,t)S$ .

On a donc :
$\delta Q \,=\,S( j(x,t) \,-\, j(x+dx,t))\,dt$
On passe alors en notation de dérivées partielles :

$\delta Q \,=\,-S \frac{\partial j(x,t)}{\partial x}\,dxdt$

Equation de la chaleur

Reste à réunir tous les bouts du bilan qu'on a fait :
$-S \frac{\partial j(x,t)}{\partial x}\,dxdt \, = \, \rho SdxdtC \frac{\partial T}{\partial t}$ .

Soit :
$- \frac{\partial j(x,t)}{\partial x} \, = \, \rho C \frac{\partial T}{\partial t}$ .

C'est ici qu'intervient la loi de Fourier : $\vec j \,=\, - \lambda \vec{grad} T$ , où $\lambda$ est la conductivité thermique du matériau.
Dans le cas unidimensionnel où l'on se trouve, cette loi de Fourier projetée sur l'axe Ox s'écrit : $j(x,t)= -\lambda \frac{ \partial T}{\partial x}$

Cela permet de faire disparaître j de l'équation précédente, et d'obtenir l'équation aux dérivées partielles suivante, appelée l'équation de la chaleur, ou équation de diffusion :

$\frac{\partial T}{\partial t} \, = \, \frac{\lambda}{\rho C} \frac{\partial^{2} T}{\partial x^{2}}$

Auteur : DarKnight
Créé le : 25/05/2008
Modifié le : 28/05/2008
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2 commentaires

Mini-tchat

lol1764 Hello les amis come vai ? Aujourd'hui, 19h19 via Résumé : L'Avare

Charine. J'aime beaucoup se site merci infiniment ! Aujourd'hui, 18h45 via Résumé : L'Avare

m K

Aujourd'hui, 18h14 via Résumé : La Promesse de l'a...

ter C'est trop bien ce site ! Aujourd'hui, 16h08 via Résumé : La Promesse de l'a...

ter Bonjour Aujourd'hui, 16h03 via Résumé : La Promesse de l'a...

sansan-62540 ça va bebe

Le 06 février, 21h18 via Résumé - La Chèvre De M. Se...

mimi Sa me prend la tete qq1 pourrait-il m'aider a propos des principaux personnages de Bel-ami Le 06 février, 18h47 via Fiches sur les personnages ...

mimi Pourquoi cette question ? Le 06 février, 18h45 via Fiches sur les personnages ...

dep Salut qqun est la ? Le 05 février, 17h16 via Résumé : Le Tartuffe de Mol...

MAXIME BONJOUR A TOUT

Le 04 février, 8h52 via Résumé : L'Avare

MAXIME Sa va mon ami Le 04 février, 8h51 via Résumé : L'Avare

Vous êtes en quelle classe? Le 03 février, 22h35 via Résumé : L'Avare

ange0610 Juste de croire sa

Le 03 février, 17h25 via Résumé : L'Avare

ange0610 C pa Le 03 février, 17h25 via Résumé : L'Avare

louloutte Il faut que vous faite vous résumé seul car on ne peut compter que sur soi même, en sachant que la plupart des personnes qui copie sont stupide je demanderai donc a chaque élève intelligent, de faire ses résumé soi-même sinon considéré vous comme STUPIDE! Le 02 février, 11h26 via Résumé : Andromaque

lilou A ete voir tartuffe à la rochelle Le 02 février, 10h44 via Résumé : Le Tartuffe de Mol...

headofcock Faut bosser plus OOOOO!!! Le 01 février, 22h45 via ROC : Théorème des Gendarm...

df9iv Apprende le code morse avec l`Android-app: MorseMind

Gerd, DF9iV Le 01 février, 18h45 via Apprendre le Morse

Bnmaster Et désolé pour la coupure de la semaine dernière ! (panne serveur + petite erreur de ma part bn_wink ) Le 01 février, 13h52 via Résumé : Andromaque

Bnmaster @xMERVEiiLx Si tu fais des résumés d'oeuvres qui ne sont pas sur la Bnbox, n'hésite pas à me les envoyer ! D'autres te remercieront mini_bn Le 01 février, 10h21 via Accueil

xMERVEiiLx Et Puis Ceux Qui Se Plaignent Vous n'avez qu'as Vous Inspirer De Ce Site Et D'autre Sites bn_wink Le 26 janvier, 17h17 via Résumé : L'Avare

xMERVEiiLx bn_big_smile

Le 26 janvier, 17h15 via Résumé : L'Avare

xMERVEiiLx Moi j'ai une prof" spéciale et elle nous fait écrire chaque jour le résumé de la scène lu... Mais on sait pas si elle va noter puiqu'elle nous dit toujour qu'elle va noter puis non, Alors au cas ou je résume toutes les scènes... (Enfin pas moi le site) bn_heureux " Le 26 janvier, 17h14 via Résumé : L'Avare

Bnmaster bn_wink Le 26 janvier, 16h35 via Accueil

DarKnight Haha ! Le 26 janvier, 0h35 via Accueil

kamigas Bjr Le 25 janvier, 19h54 via Résumé : Andromaque

Patate J'aime pas la promesse de l'aube. et je dois écrire un avis argumenté dessus. Génial.

J'aime les patates. Le 25 janvier, 18h06 via Romain Gary : La Promesse d...

password.txt Azer Le 25 janvier, 12h13 via La sémantique du XHTML

Amelie2110 J'ai lu il y a longtemp La Promesse de l'aube de romain gary et je doit écrire un avis argumenté pour après demain.

Comme je n'ai pas envie de relire le livre, je voulais demander si quelqu'un pourrait me donner une description présise des personnages.

Merci

Le 24 janvier, 22h35 via Accueil

Amelie2110 Salut!

Le 24 janvier, 22h32 via Accueil

nj] Cc

Le 23 janvier, 14h27 via Résumé - Les Fourberies De ...

koukou C est mieux que rien alors allez lire le livre fermer la

Le 23 janvier, 14h08 via Résumé : L'Avare

koukou Ha haaha

Le 23 janvier, 14h07 via Résumé : L'Avare

The_anti_avare Je suis déçu bn_heureux

Le 23 janvier, 13h09 via Résumé : L'Avare

The_anti_avare Un peu trop cour ma prof va s'en rendre compte et ca ne m'aide pas plus à cocmprendre le livre -.-

Le 23 janvier, 13h06 via Résumé : L'Avare

jada Pour le cid le résumé est réussi! Le 22 janvier, 22h59 via Résumé scène par scène - Le...

G Yeah Le 22 janvier, 17h05 via Activités manuelles

Fraaxy Vs êtes tous nuls c'est génial l'avare !!!! Le 22 janvier, 16h06 via Fiches sur les personnages ...

Le_chinois_du_13 Chuis obligé de le lire

Le 22 janvier, 15h46 via Résumé : L'Avare

Le_chinois_du_13 Sert a rien

Le 22 janvier, 15h46 via Résumé : L'Avare

Le_chinois_du_13 NUL Le 22 janvier, 15h46 via Résumé : L'Avare

Le_chinois_du_13 Pourri

Le 22 janvier, 15h46 via Résumé : L'Avare

Le_chinois_du_13 C'est Bidon

Le 22 janvier, 15h45 via Résumé : L'Avare

Le_chinois_du_13 Celui qui a compris ce livre est un génie

Le 22 janvier, 15h21 via Résumé : L'Avare

toto Ce livre est nul Le 22 janvier, 15h18 via Résumé : L'Avare

toto

nul Le 22 janvier, 15h18 via Résumé : L'Avare

quebachéri Prkoi ne pas ecrire des resumés directement je comprendrais plus vite l'histoire !! lol

Le 21 janvier, 16h56 via Résumé : L'Avare

lolilol Je n'ai rien compris a ce livre jai 13 ans

Le 21 janvier, 13h19 via Résumé : L'Avare

lili L'avare de moliere est une piece bien et comique!!!!!!!!

Le 20 janvier, 19h31 via Résumé : L'Avare

bg Hello Le 20 janvier, 14h44 via Résumé : Le Tartuffe de Mol...

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