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Concours - Grandes écoles

CCP PSI 2006 - Exercice d'Oral

  • Auteur : DarKnight
  • Créé le : 01/06/2008
  • Modifié le : 10/04/2013

Enoncé

Montrer que A \in M_{n}(\mathbb R) telle que A^{3}\,=\,A\,+\,I_{n} est diagonalisable dans M_{n}(\mathbb C).
En déduire que \det A \,> \,0


Éléments de réponse

Se rappeler des conditions de diagonalisabilité (^^) d'une matrice.


Réponse

X^{3}\,-\,X\,-\,1 est un polynôme annulateur non nul. On peut l'écrire sous une forme scindée simple dans \mathbb C [X]. A possède donc un polynôme annulateur scindé simple.
Elle est diagonalisable dans M_{n}(\mathbb C).

On peut donc l'écrire : A\,=\, PDP^{-1} où D est diagonale, et ses coefficients diagonaux sont complexes.
Le déterminant est invariant par changement de base, donc \det A \,=\, \det D.