Mathématiques - Centrale PSI 2000 - Exercice d'oral [Série entière, Equation différentielle]

Mathématiques : Centrale PSI 2000 - Exercice d'oral [Série entière, Equation différentielle]

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Enoncé

Soit la suite $(a_{n})$ définie par récurrence par :

$\left\{ a_{0}\,=\,1\\a_{1}\,=\,1\\a_{n+1}\,=\, a_{n} \,+\, 2 \frac {a_{n-1}}{n+1} \,\, \forall n \ge 1\\\right.$

1. Déterminer le rayon de convergence de la série entière : $\sum_{n=0}^{+\infty} a_{n}x^{n}$ .

2. Déterminer la somme de cette série (on pourra s'aider d'une équation différentielle).

Méthode de résolution

Essayer de conjecturer le résultat au brouillon en passant à la limite dans le critère de d'Alembert. On doit conjecturer R=1.
Essayer de trouver un encadrement de $a_{n}$ qui permettra de trouver le R conjecturé précédemment. Pour cela, minorer $a_{n}$ par 1, ce qui est intuitif. Puis raisonner par récurrence pour majorer $a_{n}$ par $n^{2}$ (moins intuitif, mais $n^{2}$ est la première puissance de n qui passe bien à la récurrence).
En déduire un encadrement sur R, ce qui permet de conclure.

Poser $f(x)\,=\,\sum_{n=0}^{+\infty} a_{n}x^{n}$ .
Calculer $f'(x)$ . Faire apparaître par changement d'indice $a_{n+1}$ puis utiliser la relation de récurrence. (Faire attention aux intervalles de variation de n)
On obtient une équation différentielle du premier ordre, homogène, à coefficients non constants. Il faut calculer une primitive obtenue par décomposition en éléments simples pour la résoudre. Puis on utilise les conditions initiales pour déterminer entièrement la solution.

Solution

Pour simplifier les calculs par la suite et éviter les problèmes d'indice, on peut poser : $a_{-1}\,=\,0$ .

1.
On doit trouver $R\,=\,1$ .
L'encadrement de $a_{n}$ nous donne d'une part que la série de terme général $a_{n}x^{n}$ a un rayon de convergence inférieur ou égal à celui de la série de terme général $x^{n}$ (i.e. 1). D'autre part que ce rayon est supérieur ou égal à celui de la série de terme général $n^{2}x^{n}$ (égal lui aussi à 1 par le critère de d'Alembert).

Attention ! Ne pas majorer trop brutalement pendant le raisonnement par récurrence, mais plutôt raisonner par équivalences.

2.
On obtient l'équation différentielle suivante :
$f'(x)\,-\, \frac{1+2x}{1-x}f(x)\,=\,0$

On doit calculer la primitive de $\frac{1+2x}{1-x}$ . On décompose cette fraction en éléments simples de la forme : $\frac{1+2x}{1-x}\,=\, \alpha \,+\, \frac{\beta}{1-x}$ .
On trouve $\alpha \,=\, -2$ et $\beta \,=\, 3$ , ce qui permet de calculer la primitive, et de terminer la résolution de l'équation.

Finalement, on trouve : $f(x) \,=\, \frac {\exp(-2x)}{(1-x)^{3}}$ , ce qui est la somme demandée.

Cet exercice peut s'avérer délicat à certains endroits, et ce qui est exposé ici est la démarche générale, sans entrer dans les détails. Si vous avez un problème à un endroit de la résolution, vous pouvez poser vos questions sur le Bar à Nougat.

Auteur : DarKnight
Créé le : 28/05/2008
Modifié le : 18/06/2008
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hérrisson Merci au personne ayant crée se site comme sa je peux reussir mon contrôle et passer du temps avec ma cop avec le temps économiser Hier, 22h00 via Résumé : La Promesse de l'a...

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ange0610 C pa Le 03 février, 17h25 via Résumé : L'Avare

louloutte Il faut que vous faite vous résumé seul car on ne peut compter que sur soi même, en sachant que la plupart des personnes qui copie sont stupide je demanderai donc a chaque élève intelligent, de faire ses résumé soi-même sinon considéré vous comme STUPIDE! Le 02 février, 11h26 via Résumé : Andromaque

lilou A ete voir tartuffe à la rochelle Le 02 février, 10h44 via Résumé : Le Tartuffe de Mol...

headofcock Faut bosser plus OOOOO!!! Le 01 février, 22h45 via ROC : Théorème des Gendarm...

df9iv Apprende le code morse avec l`Android-app: MorseMind

Gerd, DF9iV Le 01 février, 18h45 via Apprendre le Morse

Bnmaster Et désolé pour la coupure de la semaine dernière ! (panne serveur + petite erreur de ma part bn_wink ) Le 01 février, 13h52 via Résumé : Andromaque

Bnmaster @xMERVEiiLx Si tu fais des résumés d'oeuvres qui ne sont pas sur la Bnbox, n'hésite pas à me les envoyer ! D'autres te remercieront :-) Le 01 février, 10h21 via Accueil

xMERVEiiLx Et Puis Ceux Qui Se Plaignent Vous n'avez qu'as Vous Inspirer De Ce Site Et D'autre Sites ) Le 26 janvier, 17h17 via Résumé : L'Avare

xMERVEiiLx :D

Le 26 janvier, 17h15 via Résumé : L'Avare

xMERVEiiLx Moi j'ai une prof" spéciale et elle nous fait écrire chaque jour le résumé de la scène lu... Mais on sait pas si elle va noter puiqu'elle nous dit toujour qu'elle va noter puis non, Alors au cas ou je résume toutes les scènes... (Enfin pas moi le site) bn_heureux " Le 26 janvier, 17h14 via Résumé : L'Avare

Bnmaster bn_wink Le 26 janvier, 16h35 via Accueil

DarKnight Haha ! Le 26 janvier, 0h35 via Accueil

kamigas Bjr Le 25 janvier, 19h54 via Résumé : Andromaque

Patate J'aime pas la promesse de l'aube. et je dois écrire un avis argumenté dessus. Génial.

J'aime les patates. Le 25 janvier, 18h06 via Romain Gary : La Promesse d...

password.txt Azer Le 25 janvier, 12h13 via La sémantique du XHTML

Amelie2110 J'ai lu il y a longtemp La Promesse de l'aube de romain gary et je doit écrire un avis argumenté pour après demain.

Comme je n'ai pas envie de relire le livre, je voulais demander si quelqu'un pourrait me donner une description présise des personnages.

Merci

Le 24 janvier, 22h35 via Accueil

Amelie2110 Salut!

Le 24 janvier, 22h32 via Accueil

nj] Cc

Le 23 janvier, 14h27 via Résumé - Les Fourberies De ...

koukou C est mieux que rien alors allez lire le livre fermer la

Le 23 janvier, 14h08 via Résumé : L'Avare

koukou Ha haaha

Le 23 janvier, 14h07 via Résumé : L'Avare

The_anti_avare Je suis déçu bn_heureux

Le 23 janvier, 13h09 via Résumé : L'Avare

The_anti_avare Un peu trop cour ma prof va s'en rendre compte et ca ne m'aide pas plus à cocmprendre le livre -.-

Le 23 janvier, 13h06 via Résumé : L'Avare

jada Pour le cid le résumé est réussi! Le 22 janvier, 22h59 via Résumé scène par scène - Le...

G Yeah Le 22 janvier, 17h05 via Activités manuelles

Fraaxy Vs êtes tous nuls c'est génial l'avare !!!! Le 22 janvier, 16h06 via Fiches sur les personnages ...

Le_chinois_du_13 Chuis obligé de le lire

Le 22 janvier, 15h46 via Résumé : L'Avare

Le_chinois_du_13 Sert a rien

Le 22 janvier, 15h46 via Résumé : L'Avare

Le_chinois_du_13 NUL Le 22 janvier, 15h46 via Résumé : L'Avare

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Le_chinois_du_13 Celui qui a compris ce livre est un génie

Le 22 janvier, 15h21 via Résumé : L'Avare

toto Ce livre est nul Le 22 janvier, 15h18 via Résumé : L'Avare

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