Concours - Page 2 - La Bnbox !

ENSI PSI - Exercice d'oral [Développement limité]

Auteur : Bnmaster
Créé le : 28/05/2008
Modifié le : 22/06/2012

Effectuer un développement limité à l'ordre 4, au voisinnage de $\pi / 4$ de : $f(x) = \tan(x)^{\tan(2x)}$

Eléments de réponse

Les calculs sont vraiment bourrins, donc il faut foncer en essayant de simplifier au maximum et en cherchant des petites astuces.

$f(x) = \tan(x)^{\tan(2x)} = e^{\tan(2x)\ln(\tan(x))}$
On connait un DL de la fonction tangente à 0, mais pas à $\pi / 4$ , donc on va poser : $x = \frac{\pi}{4} - \epsilon$ (où on fait tendre $\epsilon$ vers 0)
Rappelons que, au voisinage de 0 : $\tan(x) = x + \frac{x^3}{3} + o(x^4)$
Le DL de $\tan(2x)$ est relativement simple en utilisant les formules d'addition de cosinus et sinus.
On peut faire le DL de tangente, puis de sinus, mais il y a une astuce qui consiste à remarque que : $\ln(\tan(x))' = \frac{-2}{\cos(2 \epsilon)}$ ; Ce DL est bien plus simple à calculer et il ne reste plus qu'à en chercher la primitive.
Il ne reste "plus" qu'à calculer le DL de l'exponentielle.

On obtient le résultat final à l'ordre 4 : $f(x) = e^{-1}(1 + \frac{2}{3} \epsilon^2 + \frac{4}{5} \epsilon^4 + o(\epsilon^4))$

Merci à mat pour avoir dégoté une erreur sur le dl de tangente. Si jamais le résultat était encore faux, c'est désormais sa responsabilité :p

ENSI PSI - Exercice d'oral [Endomorphisme]

Auteur : Bnmaster
Créé le : 28/05/2008
Modifié le : 22/06/2012

Soit E un espace vectoriel de dimension finie et f une forme bilinéaire symétrique telle que : $f(v,v)=0 \, \Longleftrightarrow \, v=0$
Soit u un endomorphisme de E tel quel : $\forall(x,y) \in E^2 \,\, f(u(x),u(y)) = f(x,y)$
Montrer que u est bijectif.

Réponse

Soit $x \in Ker(u)$ , donc $u(x)=0$
Or $f(u(x),u(x)) = f(x,x) = f(0,0) = 0$
Donc, d'après la définition de f, $x=0$ .
Donc $Ker(u)=\{0\}$ , donc u est injectif.
Or E est de dimension finie, donc u injectif $\Longleftrightarrow$ u surjectif $\Longleftrightarrow$ u bijectif

Donc u est bijectif ;)